Funciones racionales

Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios. Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio. Por lo tanto, las funciones polinómicas son funciones racionales.

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

  .

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.   

Para entender mejor el tema, pueden ver el siguiente vídeo:

Probabilidad

En ocasiones realizamos acciones, por ejemplo lanzar una moneda al aire, en las que conocemos de antemano los posibles resultados que se pueden dar (cara o cruz), pero no sabemos exactamente cual de ellos se va a dar.

Lo mismo ocurre cuando lanzamos un dado: sabemos que puede salir 1, 2, 3, 4, 5, o 6, pero no sabemos cual de ellos saldrá.

Los resultados de estas acciones dependen del azar:

Sabemos cuales pueden ser pero es imposible determinar de antemano cual será.

La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno de los posibles resultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el que se dé.

Por ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad de que salga "cara" cuando lanzamos una moneda, o la posibilidad de que salga 5 cuando lanzamos un dado.

• Sucesos

Llamamos sucesos a los posibles resultados de una acción que depende del azar.

Distinguimos 3 tipos de sucesos:

Suceso posible: es un resultado que se puede dar.

Por ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando lanzamos un dado.

Suceso imposible: es un resultado que no se puede dar.

Por ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando lanzamos un dado (el dado no tiene el número 7).

Suceso seguro: es un resultado que siempre se va a dar.

Por ejemplo, "número menor de 7" es un suceso seguro cuando lanzamos un dado (cualquier número que salga al lanzar el dado será menor que 7).

• Probabilidades de los sucesos

Dentro de los sucesos posibles vamos a distinguir:

Suceso igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los demás:

Por ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso "cara" tiene las mismas probabilidades que el suceso "cruz".

Suceso muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse:

Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100, el suceso "sacar una bola con un número entre 1 y 98" tiene muchas probabilidades de ocurrir.

Suceso poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse:

Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99 blanca y 1 negra, el suceso "sacar la bolsa negra" tiene pocas probabilidades de ocurrir.

• Cálculo de probabilidades

Para calcular probabilidades se utiliza la siguiente fórmula:

Probabilidad = Casos favorables / Casos posibles

El resultado se multiplica por 100 para expresarlo en porcentaje.

Veamos el siguiente ejemplo:

a) Calcular la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda:

Casos favorables: 1 (que salga "cara")

Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o "cruz")

Probabilidad = (1 / 2 ) * 100 = 50 %

Funciones trigonométricas

Para las Funciones Trigonométricas, haremos uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones de Seno, Coseno y Tangente, y sus inversas, además de apoyarnos siempre con la Calculadora.

Las letras minúsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitágoras, las letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizarán para referirnos a los Ángulos del Triángulo.

• Función Seno ( Sen): La Función Seno nos describe la relación existente entre Lado Opuesto sobre la Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

• Función Coseno ( Cos): La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

• Función Tangente ( Tan): Ésta Función nos representa la relación entre Lado adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

Para poder entender mejor, mirar el siguiente vídeo:

 

Funciones exponenciales

Comenzaremos observando las siguientes funciones:  f(x) = x²   y   g(x) = 2^x.   Las funciones f  y  g no son iguales.  La función f(x) = x² es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante.  Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2^x  es una función con una base constante elevada a una variable.  Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Una función exponencial con base "b" es una función de la forma f(x) = b^x , donde b  y  x son números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno.

Para entender mejor el tema ver el siguiente vídeo:

Ecuación polinómica, canónica y factorizada

 
Forma Factorizada

Si la ecuación asociada a la función cuadrática

y = ax² + bx + c 

tiene como raíces los valores x₁ y x₂   dicha función se puede expresar : y = a ( x - x₁ )( x - x₂ ) 

Forma Canónica

Para expresar de la forma polinómica 
 y = ax² + bx + c   (1)
en la forma
f ( x ) = a ( x - x_v )² + y_{v   (2)}
Se buscan las coordenadas de los vértices  x_v e  y_v y se reemplazan en (2).

Para poder entender mejor, mirar el siguiente vídeo:

Función cuadrática

• A la función de segundo grado f(x)= a*x^2+b*x+c. Siendo que "a,b y c" son números reales y "a" es distinto a cero, se denomina función cuadrática.

• La representación gráfica es una parábola:

1. Si "a" es mayor a "0" las ramas hacia arriba ---> cóncava hacia arriba.
2. Si "a" es menor a "0" las ramas hacia abajo ---> cóncava hacia abajo.

Gráfica de la parábola

Para graficar se deben calcular los elementos y luego graficarla:

• Raíces de la parábola:  el signo de "-b" es opuesto al que está en la fórmula, es decir, si el número es positivo -b sera negativo, y si es negativo, -b será positivo. Si el número resultante del discriminante da negativo,  es porque la parábola no tiene raíces.

• Vértice:

  

• Eje de simetría: X= Xv 

• Ordenada al origen: f(o)= c

Para aprender a graficar una parábola puede ver el siguiente vídeo:

Función lineal

• Es toda función cuya expresión puede reducirse a la forma f(x)= m*x+b (m y b pertenecen a los números ℝ) f(x)= a*x+b 
• La gráfica de una función lineal está formada por puntos alineados. Si está definida en su dominio natural, el conjunto de ℝ, la gráfica es una recta.
• El coeficiente "m" es la pendiente y representa cuanto varía f(x) por cada unidad que aumenta "x".
• El coeficiente "b" es la ordenada al origen, es decir, el punto en que la gráfica de la función corta al eje "y".

• El valor de la pendiente determina que una función sea creciente, ("a" mayor que 0), constante ("a"=0) y decreciente ("a" menor que 0).
• 0 o √ de la función es el corte de la gráfica con el eje "x".

Ejemplo: raíz (igualar la función a 0).

1/2x + 3=0

1/2x= -3

x= -3: 1/2= -6 

• Para averiguar la pendiente: dados dos puntos (x1;y1) (x2; y2).

Ejemplo: (-2;4) y (1;5)

a= 5-4/1-(-2)= 1/3

y= a*x+b

5= 1/3*1+b

5= 1/3+b

5-1/3=b

14/3=b  

y= 1/3x + 14/3 

                               "x;y= se reemplaza por cualquier punto, ej: (1;5)".

• PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO:  

              -Rectas paralelas: dos o más rectas son paralelas si solo sus pendientes son iguales.

      

           

             -Rectas perpendiculares: son perpendiculares si solo sus pendientes son opuestas 

Sucesión

• Conjunto infinito de números reales. Cada número se denomina término, cada sucesión tiene un 1° término y cada término tiene un siguiente término.

Término general: Las sucesiones se definen como una función cuyo dominio son los números naturales y cuya imagen está incluida en el conjunto de los reales. El término general se escribe como "an°". Ej: a1/a2/a3/etc.

• Ejemplo de sucesión:    

Funciones

Eje Y o "eje de ordenada": Variable dependiente (VD).

Eje X o "Eje abscisas": Variable independiente (VI).

• Dominio: conjunto de valores VI.
• Imagen: conjunto de valores VD.
• Ordenada al origen: Intersección con eje Y.
• Cero o raíz: intersección con el eje X

FUNCIÓN LINEAL

Cuando "a" es mayor a 0, la función es creciente. Ej: y=2x-1

Cuando "a" es menor a 0, la función es decreciente. Ej: y=(-3)+2

Cuando "a" es igual a 0, la función es constante. Ej: y=7

Las rectas pueden ser paralelas (con pendientes iguales, o perpendiculares (con pendientes opuestas en inversas).

Conjunto de números. Clasificación